《定积分的概念及极限计算应用》内容总结与参考课件

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一、定积分的定义把握两个任意一个总

(1) 对区间的分割是任意的；

(2) 在子区间上点的取值位置是任意的；

(3) 对两个任意，极限总是趋于同一个极限值.

【注】积分值与积分变量无关，只与被积函数和积分上下限无关，因此积分值中一定不包含有积分变量，如同极限结果中一定不含有极限变量.

二、定积分的存在性

定理1 函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.

定理2 函数f(x)在[a,b]上有界，且在[a,b]上只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.

【注】初等函数在包含于其定义区间上的任意闭区间上定积分都是存在的.

三、用定积分的定义求数列极限的基本原则与使用方法

依据：基于以上结论和定积分的定义，对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限.

原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k转换为k/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成∑f(k/n)(1/n)的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题！

【注1】如果希望构建积分区间为[a,b]，则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)k/n，即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[a,b]的定积分形式.

【注2】结合区间分割图形考虑积分定义中的区间均匀分割确定积分区间分割点坐标和被积函数，从而可以得到不同的描述形式. 另外，除了使用积分定义求极限，也可以将积分描述为极限求和结构求积分，具体实例参见课件和推荐阅读列表.

四、定积分的性质与规定

实际意义：被积函数非负，则为曲边梯形的面积、变速直线运动路程、变力沿直线作功、直线型物体的质量；被积函数的意义则为曲边的高、速度大小、变力大小和线密度.

参考课件节选：

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